二次函数几种解析式的求法.docx
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二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、三点型
例1
已知一个二次函数图象经过（
数的解析式是_______。
-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函
分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为
2
y=ax+bx+c,将三个点的坐标代
入，易得a=2,b=-3,c=5。
故所求函数解析式为y=2x2
-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系
数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.
二、交点型
2
2
+bx+c的图像经过A点，
例2已知抛物线y=-2x
+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax
且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析
要求的二次函数的图象与
x轴的两个交点坐标，可设
y=ax（x-3）,再求也y=-2x
2
+8x-9的
1
顶点A（2，-1）。
将A点的坐标代入
y=ax（x-3）,得到a=2
1
1
x2
3
x
∴y=2x（x-3）,即
y=2
2.
三、顶点型
2
例3已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A（-1,4）且经过点（1,2）求其解析式。
分析此类题型可设顶点坐标为（m,k），故解析式为y=a（x-m）2+k.在本题中可设y=a（x+1）2+4.
1
再将点（1,2）代入求得a=-2
∴y=-
1（x
1）2
4,
2
即y=-
1x2
x
7
2
2.
由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型
例4
二次函数y=x
2
3个单位得二次函
+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移
数y
x2
2x
1,则b与c分别等于
（A）2,-2;（B）-6,6;（c）-8,14;（D）-8,18.
分析
逆用平移分式，将函数
y=x2
-2x+1的顶点（1，0）先向下平移
3个单位，再向右平移
两个单位得原函数的图象的顶点为（
3，-3）。
2
bx
c
（x3）2
3
∴y=x
=x
2
6x
6.
∴b=-6,c=6.
因此选（B）
五、弦比型
例5已知二次函y=ax
2
2，其图象在X轴上截得的线段长
+bx+c为x=2时有最大值
为2，求这个二次函数的解析式。
分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a
就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。
再应用交点式或顶点式求得
解析式为y=-2x2+8x-6.
六、识图型
1x2
（b2）xc
1x2
（b2）xd
P，
例6如图1，抛物线y=2
与y=2
其中一条的顶点为
另一条与X轴交于M、N两点。
（1）试判定哪条抛物线与
X轴交于M、N点？
（2）求两条抛物线的解析式。
1
x2
（b
2）x
c
解
（1）抛物线
y=
2
与x轴交于
M，N
两
点（过程从略）；
1x2
（b2）xd
0，1），
（2）因y=2
的顶点坐标为（
∴b-2=0,d=1,
∴b=2.
1x2
1
∴Y=2
.
1x2
将点N的坐标与b=2分别代入y=2+（b+2）x+c得c=6.
1x2
∴y=2+4x+6
七、面积型
例7已知抛物线y=x2bx
与x轴的交点为A、B，顶点为
c
P，
的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与
PAB的面积为8。
求其解析式。
y轴交于
Q（0，-3），
解将（0，-3）代入
y=x2
bx
c得
c=-3.
由弦长公式，得ABb212
12
b2
点P的纵坐标为
4
由面积公式，得
1
b2
12
12
b2
8.
2
4
解得b
2.
因对称轴在y轴的右侧,∴b=-2.
所以解析式为y=x22x3
八、几何型
例
8
已知二次函数
y=x2
-mx+2m-4如果抛物线与
x轴相交的两个交点以及抛物线的
顶点组成一个等边三角形，求其解析式。
解
由弦比公式，得
AB=
m2
4（2m4）m4
（m
4）2
顶点C的纵坐标为-
4
∵ΔABC为等边三角形
（m
4）2
1
3
m
4
∴
4
2
解得m=4
2
3,故所求解析式为
y=
x2
（4
2
3）x
4
4
3,
或y=x2
（423）x443
九、三角型
12
例9已知抛物线y=x2
bxc的图象经过三点（
0，25）、（sinA，0）、（sinB，0）且
A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。
解∵A+B=900，∴sinB=cosA.
则由根与系数的关系，可得
sinAcosA
b
sinAcosA
c
12
12.
将（0，25）代入解析式，得c=25
（1）2
（2）2,得
b2
24
1,b
7
25
∴
5
7
∵-b
0,∴b=-5
x2
7x
12
所以解析式为y=
5
25
十、综合型
例10如图2，已知抛物线y=-x2pxq与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，
若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．
解设A，B两点的横坐标分别为x1,x2,则q=（-x1）x2OAOB.
由AOC～COB，可得OC2=OA·OB，
∴q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），
OCOC
2
又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得OAOB
11
2
即X1X2
∴x1+x2=-2x1x2即p=2p=2
所以解析式为y=-x2+2x+1
函数及其图象
次函数性质的应用
用二次函数性质求点的坐标
二次函数解析式
二次函数解析式
测试
与答案
------------------------------------------------------------------------
知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1
a.b.c.b2-4ac的符号，
a-b+c＜o;
取何值时，y随x值的增大而减小。
由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴交点坐标为（O，C），而此点在x轴下方，得出c＜0，又=-1，在y轴左侧，得出b与a同号∴b＞0。
x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，∴b2-4ac＞0
-1时，y=a-b+c＜0
＜-1时，y随x值的增大而减小。
知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。
（1）求
（2）若此函数图象上有一点P，使PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。
已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4（1，0），（5,0）
∵当x=3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为（3，-2）.∴设二次函数解析式为
2-2
在x轴上截得线段AB的长是4，∴图象与x轴交于（1，0）和（5，0）两点
2
-2=0∴a=
次函数解析式为y=
x2-3x+
AB的面积为12个平方单位，｜AB｜=4
×4×｜Py｜=12∴｜Py｜=6∴Pg=±6
开口向上，函数值最小为-2，∴Py=-6应舍去，∴Pg=6又点P在抛物线上，
x2-3x+
=7
坐标为（-1，6）或（7，6）
题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会
抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。
图，矩形EFGH内接于ABC。
E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HEEFGH的面积y（cm2）与矩形EFGH的宽x（cm）间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最
边形EFGH是矩形
∥AC
ABC∽HBG
交HG于M
与BM分别是ABC和HBG的高。
∥AC,
HE=x,BM=6-x
矩形EFGH=HE*HG
*
得y=-
x2+8x
6
变量x的取值范围是0＜x＜6
的系数为-
＜0，
有最大值
-=3时，
=
=12
值
求函数的解析式为y=-x2+8x（0＜x＜6），当它的宽为3cm时，矩形EF
为12cm2。
22
二次函数y=ax+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程ax+bx-5=0的
二次函数的解析式
原点O到直线AB的距离
）如图
=3∴-
=6
+x2=-
=6
知，有x12+x22=26，
+x2）2-2x1x2=26
）2+=26,
a=-1
析式为y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4
OB=5,OC=4,AC=3
=3
==5
OB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，
=,
点O到直线AB的距离为同步测试：
P（3m-p,1-m）是第三象限的整数点，那么P点坐标是（）
，-1）（B）（-3，-1）（C）（-3，-2）（D）（-4，-2）
（a,b）在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是（）
B）a=-b（C）a=｜b｜（D）｜a｜=b
y）在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为（）
3）（B）（2，-3）（C）（-2，-3）（D）（2，3）
=中，自变量x的取值范围是（）
（B）x＜2（C）x≠2（D）x＞2
=中，自变量x的取值范围是（）
且x≠1（B）x≥-2且x≠1
且x≠±1（D）x≥-2或x≠±1
函数中，成正比例函数关系的是（）
面积与它的周长
面积是定值，矩形的长与宽
形面积与它的边长
边一定时，三角形面积与底边上的高
=k（x-1）与y=（k＜o）在同一坐标系下的图象大致如图（）
线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么（）
b＞0（B）k＞0，b＜0
，b＞0（D）k＜0，b＜0
物线y=-+x-x2，下列结论正确的是（）
向上，顶点坐标是（
，0）
向下，顶点坐标是（
，0）
向下，顶点坐标是（-，）
向上，顶点坐标是（-，-）
＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的（）
：
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则（）
b＞0,
c＞0,
＜0
b＞0,
c＜0,
＞0
b＜0,
c＜0,
＞0
b＜0,
c＞0,
＜0
数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为（）
+4x-8（B）y=2x2-8x+8
+4x-2（D）y=2x2-8x-2
，-5）到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是
y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点（2，-3），则k=__，在y轴上的
函数的图象经过（1，-5）点且与y轴交于（0，-1）点，则一次函数的解析式为____.
抛物线的顶点为M（4，8）且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.
函y=x+分别与x轴，y轴交于点
，若∠BAC为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。
如图，在ABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y。
y与x的函数关系式；
这个函数图象。
角坐标系xoy中，直线l过点（4，0），且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线且以x=3为对称轴，开口向下。
求二次函数的解析式及函数的最大值。
抛物线y=x2-mx+（2m+3）（m是不小于-2的整数）与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间的距离恰是顶点到
倍。
条抛物线的函数解析式；
D（t,2）是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。
与答案
3.C4.B5.C6.D7.A8.D
11.B12.A13.5，3，2
，-215.y=-4x-116.y=-
x2+4x
x-
-x+（0≤x＜4）；
（2）图略
x2+3x-4,最大值为.
x2+2x-1;
（2）D（1,2）
：
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