青岛版八年级下学期数学《相似三角形》课后习题.docx
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青岛版八年级下学期数学《相似三角形》课后习题
青岛版八年级下学期数学《相似三角形》课后习题
典型例题
例1.如图,ang;1=ang;2=ang;3,图中相似三角形有()对。
答:
4对
例2.如图,已知:
△ABC、△DEF,其中ang;A=50deg;,ang;B=60deg;,ang;C=70deg;,ang;D=40deg;,ang;E=60deg;,ang;F=80deg;,能否分别将两个三角形分割成两个小三角形,使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似?
如果可能,请设计一种分割方案;若不能,说明理由。
解:
例3.(2004bull;广东省)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点F在BA的延长线上,连结CF交AD于点E。
(1)求证:
△CDE∽△FAE;
(2)当E是AD的中点,且BC=2CD时,求证:
ang;F=ang;BCF。
命题意图:
相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析:
由AB∥DC得:
ang;F=ang;DCE,ang;EAF=ang;D
there4;△CDE∽△FAE
,又E为AD中点
there4;DE=AE,从而CD=FA,结合已知条件,易证
BF=BC,ang;F=ang;BCF
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形
there4;AB∥CD
there4;ang;F=ang;DCE,ang;EAF=ang;D
there4;△CDE∽△FAE
(2)∵E是AD中点,there4;DE=AE
由
(1)得:
there4;CD=AF
∵四边形ABCD是平行四边形
there4;AB=CD
there4;AB=CD=AF
there4;BF=2CD,又BC=2CD
there4;BC=BF
there4;ang;F=ang;BCF
思路探究:
平行往往是证两个三角形相似的重要条件,利用比例线段也可证明两线段相等。
例4.在梯形ABCD中,ang;A=90deg;,AD∥BC,点P在线段AB上从A向B运动,
(1)是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP;
(2)若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,则AP的长度为多少?
解:
(1)存在
(2)若△ADP∽△BCP,则
设
或
或
或
there4;AP长度为4或6
例5.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:
CE=2:
3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则()
A.4:
10:
25B.4:
9:
25
C.2:
3:
5D.2:
5:
25
(2001年黑龙江省中考题)
思路点拨:
运用与面积相关知识,把面积比转化为线段比。
there4;选A
例6.如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形,已知ang;C=90deg;,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨:
要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,把每种方案中的正方形边长求出。
解:
如图甲,设正方形EFGH边长为x,则AC=4
而CD×AB=AC×BC=,得
又△CEH∽△CAB,得
于是,解得:
如图乙,设正方形CFGH的边长为ycm
由GH∥AC,得:
即,解得:
即应如图乙那样裁剪,这时正方形面积达最大,它的边长为
例7.如图,已知直角梯形ABCD中,ang;A=ang;B=90deg;,设,,作DEperp;DC,DE交AB于点E,连结EC。
(1)试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似?
若相似,请加以证明。
(2)如果不一定相似,请指出a、b满足什么关系时,它们就能相似?
解:
(1)△DCE与△ADE一定相似,△DCE与△BCE不一定相似,分别延长BA、CD交于F点
由△FAD∽△FBC,得:
于是FD=DC,从而可证△FED≌△CED
得ang;AED=ang;DEC
所以△DEC∽△AED
(2)作CGperp;AD交AD延长线于G,
由△AED∽△GDC,有,得
要使△DCE与△BCE相似,那么一定成立
即,得
也就是当时,△DCE与△BCE一定相似。
1.如图,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若,则AD:
DB=____________。
2.如图,△ABC中,CE:
EB=1:
2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为____________。
3.若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为____________。
(2000年武汉市中考题)
4.阅读下面的短文,并解答下列问题:
我们把相似形的概念推广到空间:
如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体。
如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比:
,设分别表示这两个正方体的表面积,则,又设分别表示这两个正方体的体积,则。
(1)下列几何体中,一定属于相似体的是()
A.两个球体B.两个圆锥体
C.两个圆柱体D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质:
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于____________;
②相似体表面积的比等于____________;
③相似体体积的比等于____________。
(2001年江苏省泰州市中考题)
5.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高()
A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m
6.如图,D为△ABC的边AC上的一点,ang;DBC=ang;A,已知,△BCD与△ABC的面积的比是2:
3,则CD的长是()
A.B.C.D.
7.如图,在正三角形ABC中,D、E分别在AC、AB上,且,AE=BE,则有()
A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考题)
8.如图,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:
FD:
FB=1:
2:
3,则等于()
A.1:
9:
36B.1:
4:
9
C.1:
8:
27D.1:
8:
36
9.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,ang;ACD=ang;B,求证:
10.如图,△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DEperp;BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。
(1)求证:
△ABC∽△FCD;
(2)若,求DE的长。
(2000年河北省中考题)
11.阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D、E落在BC上,F、G分别落在AC、AB边上,作法如下:
第一步:
画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D’E’F’G’。
第二步:
连结BF’,并延长交AC于点F;
第三步:
过F点作FEperp;BC于E;
第四步:
过F点作FG∥BC交AB于点G;
第五步:
过G点作GDperp;BC于点D。
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG,为正方形。
问题:
(1)证明上述所求作的四边形DEFG为正方形;
(2)在△ABC中,如果,ang;BAC=75deg;,求上述正方形DEFG的边长。
(江苏省扬州市中考题)
12.如图,在△ABC中,,在BC上有100个不同的点,过这100个点分别作△ABC的内接矩形,设每个内接矩形的周长分别为,则
____________。
(安徽省竞赛题)
13.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为,则△ABC的面积为____________。
14.如图,一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,那么这个正方形的面积是____________厘米2。
(第11届“希望杯”邀请赛试题)
15.如图,将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比为()
A.2:
1B.C.D.1:
1
16.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则AE:
ED等于()
A.2B.C.D.
试题答案
1.3:
1
2.
3.或
4.
(1)A;
(2)相似比;相似比的平方;相似比的立方
5.C6.C7.B8.C
9.由△ABC∽△DCA,得
10.
(1)略
(2)过A作AMperp;BC于M
由△ABC∽△FCD,得:
又,得
∵DE∥AM,
,得
11.
(1)易证明四边形EFGD为矩形,由,而,得EF=GF,故四边形EFGD为正方形。
(2)过A作AQperp;BC于Q交GF于P,且AQ=BQ,ang;BCA=60deg;,ang;QAC=30deg;,,又
即,解得
由,得
12.400
提示:
从内接一个矩形入手,探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。
13.
提示:
14.
解:
设,则
由△BCE∽△EDF,得
又,即
15.C
16.C
提示:
延长DA、CB相交于G,
设,则
即
为大家推荐的相似三角形课后习题就到这里了,希望大家在新的学期里生活愉快,学习进步。
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