在新的区间内，保留一个好点x1和f（x1），下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f（x3），与f（x1）比较。
如此反复。
（b）．f（x1）>f（x2），淘汰
，另
，得新区间
。
（c）．f（x1）=f（x2），可归纳入上面任一种情况处理。
迭代过程
2．简述梯度法的基本原理和特点。
3．简述复合型法的基本原理和特点。
基本思路：
在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。
比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点（称最坏点），以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
方法特点
1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。
但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。
（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
4．试举一个机械优化设计实例。
5．最优化问题的数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件（准则）？
6．在有限元分析时，什么情况下适合选择一维、二维和三维单元？
7．试说明有限元解题的主要步骤。
（见第六讲课提纲3.2）
结构或区域离散、单元分析、整体分析和数值求解。
8．在进行有限元分析时，为什么要进行坐标转换？
（见第七讲课提纲）
答：
在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置，需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成和装配。
9．试举一个有限元分析应用实例？
10．可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系?
可靠性：
产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
可靠度（Reliability）：
产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为R。
它是时间的函数，故也记为R（t）,称为可靠度函数，是可靠性指标。
11．简述强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”的含义，试举例说明之。
这里应力与强度都不是一个确定的值,而是由若干随机变量组成的多元随机函数（随机变量）,它们都具有一定的分布规律。
应力：
载荷、环境因素、应力基中。
强度：
材料强度、表面粗糙度、零件尺寸。
12．系统可靠性分配的原则。
要是可靠性分配做到合理，必须一方面满足系统的可靠性指标要求和约束条件要
求；另一方面要具有可行性。
为此，需遵循以下准则：
⑴危害度愈高，可靠性分配值愈高；
⑵无约束条件时，可靠性的分配值允许较高；
⑶复杂程度高，可靠性的分配值应适当降低；
⑷技术难度大，可靠性的分配值应适当降低；
⑸不成熟产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑹恶劣环境条件工作的产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑺工作时间长的产品，可靠性的分配值应适当降低。
以上准则是从不同的角度，逐一陈述的，即只考虑了但因素。
实际分配中，系统所
属产品往往是多因素的，在运用以上准则时要注意综合权衡。
13．什么是串联模型系统？
若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R（t），如何计算串联系统的可靠度？
串联系统可靠性：
串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整个系统失效的系统。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度
R=Rn（t）
14．什么是并联模型系统？
若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R（t），如何计算并联系统的可靠度？
并联系统可靠性：
并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的系统。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
15．正态分布曲线的特点是什么，主要应用在什么方面？
1、集中性：
正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置；
2、对称性：
正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交；
3、均匀变动性：
正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降；
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：
均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平；
5、u变换：
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换；
应用1.估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例；
2.制定参考值范围
（1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握；
3.质量控制：
为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：
正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布；
4.正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
16．威布尔分布的特点是什么，主要应用在什么方面？
应用：
威布尔分布：
在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
三、计算题
1．现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20厘米，且长度为宽度的2倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过400平方厘米。
建立数学模型。
2．要将每根10m长的钢管截成3m和4m长的各100根，要求设计出用料最省的下料方法。
试建立其数学模型。
（提示：
钢管有3种下料方式，即2根3m和1根4m、2根4m和尾料2m、3根3m和尾料1m。
）
.解：
建立数学模型
取下料方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的根数分别为x1、x2和x3，取剩余尾料为目标函数，则数学模型为：
MinF（X）=2x2+x3剩余尾料为最少
s.t.2x1+3x3=1003m的根数等于100
x1+2x2=1004m的根数也等于100
0≤x10≤x20≤x3
3．有一边长为8cm的正方形铁皮，在四角剪去相同的小正方形，折成一个无盖盒子，剪去小正方形的边长为多少时铁盒的容积最大。
（1）建立该问题的数学模型。
（2）设初始搜索区间为［a,b］＝［0，3］，用0．618法计算两步。
.解：
（1）数学模型
设剪去小正方形的边长为x,
则体积V=x（8-2x）2，应为最大。
（2）第一次迭代a1=a+0.382（b-a）=1.146,a2=a+0.618（b-a）=1.854
f1=37.338,f2=31.348,f1>f2,新区间[a,a2]=[0,1.854],
第二次迭代a1=a+0.382（b-a）=-0.708,a2=a+0.618（b-a）=1.146
f1=-30.691,f2=37.338,f14．求下列函数的极值点，并判断是极大值点或极小值点。
（1）
取初始点
（其中：
）
（答案：
）
解：
（1）
代入牛顿法迭代公式，得
极小值点
（2）
取初始点
解：
（2）
代入牛顿法迭代公式，得
极小值点
（海赛（Hessian）矩阵
设函数y=f（x）=f（x1,...,xn）在点x0=（x10,...,xn0）的一个邻域内所有二阶偏导数连续，则称下列矩阵H为f（x）在x0点的海赛矩阵.
显然海赛矩阵是对称的，从而它的所有特征根均为实数.
极值存在的充分条件
设f（x）在x0的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且x0是f（x）的临界点，H为f（x）在x0点的海赛矩阵，则
（1）H>0，即H为正定矩阵
x0是f（x）的极小点。
（2）H<0，即H为负定矩阵
x0是f（x）的极大点。
）
5．某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个失效，工作至1000h共有500个失效，试求该批电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
答：
工作到500h的失效概率为p（500）=100/1000=0.1
可靠度为：
R（500）=1-0.1=0.9
工作到1000h的失效概率为p（1000）=500/1000=0.5
可靠度为:
R（1000）=1-0.5=0.5
6．计算一种串、并联系统及混联系统的可靠度。
具体问题具体分析，要根据不同的联接类型求。
以下只是原则。
混联系统可靠性：
混联系统是由串联和并联混合组成的系统。
图13·4-7a为混联系统的可靠性框图，其数学模型可运用串联和并联两种基本模型将系统中一些串联及半联部分简化为等效单元。
例如图13·4-7的a可按图中b，c，d的次序依次简化，则
Rs1=R1R2R3
Rs2=R4R5
Rs3=1-（1-Rs1）（1-Rs2）
Rs4=1-（1-R6）（1-R7）
Rs=Rs3Rs4R8
混联系统的两个典型情况为串并联系统（13·4-8a）和并串联系统（13·4-8b）。
串并联系统的数学模型为：
当各单元可靠度都相等，均为Rij=R，且n1=n2=……=nm=n，则
Rs=1-（1-Rn）m
一般串并联系统的可靠度，对单元相同的情况，高于并串联系统的可靠度。
串联系统可靠性其可靠性数学模型为
式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度
并联系统可靠性：
并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的系统。
图13·4-5为并联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为
式中Ra——系统可靠度Fi——第i单元不可靠度Ri——第i单元可靠度
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