详细解析上海高考数学理科.docx

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详细解析上海高考数学理科

2001年上海市高考数学试卷

（理科）

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知，则满足的值为　___　．

【答案】3

【解析】时，，，不合题意，舍去；时，

，，综上可得．

【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．

2．设数列的通项为，则　____　．

【答案】153

【解析】由，解得，所以数列的前3项为负数，

则．

【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

3．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的

轨迹方程是　_____　．

【答案】

【解析】设，则，代入双曲线方程得，即为所求．

【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．

4．设集合，则的元素

个数为　_____　个．

【答案】1

【解析】由，可得，∴或，检验知符合题意，∴，时，；时，，∴的元素个数为1个，故答案为1．

【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．抛物线的焦点坐标为　______　．

【答案】

【解析】由得，，表示顶点在，开口向上的抛物线，，∴故焦点坐标是．

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p是解题的关键．

6．设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，若，则此数列的首项的取值范围为　_____　．

【答案】

【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为，则，．而等比数列前项和，因此，而根据极限的四项运算法则有，，因此，解得．

【点评】本题是中档题，考查等比数列前n项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．

7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现

在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种　_____　种．（结果用数值表示）

【答案】7

【解析】设素菜种，则，所以的最小值为7．

【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，为最小正整数．

8．在的展开式中，常数项为　_____　．

【答案】15

【解析】由于

，故展开式中，常数项为．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

9．设，且，则的取值范围是　_____　．

【答案】

【解析】由题意可得，而表示在区间上余弦值等于的一个角，∴，故答案为．

【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．

10．直线与曲线（为参数）的交点坐标是　_____　．

【答案】

【解析】∵，∴曲线方程化为，与直线联立，解得或，由，故不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为．

【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键

11．已知两个圆：

①；②，则由①式减去②式可得上述两个圆

的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为　_____　．

【答案】设圆方程①，②（或，

则由①—②，得两圆的对称轴方程．

【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：

设圆方程①，②（或），由①—②，得两圆的对称轴方程．

【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．

12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______　．

【答案】

【解析】1950﹣1970：

土地沙化面积增加了（万平方公里），

平均沙化面积为：

（万平方千米）（百平方公里）

1970﹣1990：

平均沙化面积为：

（万平方千米）（百平方公里）；

1990﹣2000：

平均沙化面积为：

（万平方千米）（百平方公里）．如上图．

【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

13．是直线和直线平行且不重合的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】当时，两直线分别为，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则，∴综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件．故选C．

【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．

14．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，

．则下列向量中与相等的向量是

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题意可得

．

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．

15．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是

A．若，则B．若，则

C．若相交，则相交D．若相交，则相交

【答案】D

【解析】略．

16．用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是

A．在上是单调减函数B．的值域为

C．有最小值D．

【答案】D

【解析】∵的导数，，

∴当时，；当时，．

可得函数在上为增函数，在为减函数，最大值，值域为，由此可得A、B、C三项都不正确．

由极限的运算法则，可得，D项正确．

【点评】本题给出关于函数的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）

已知是中的对边，是的面积，若

，求的长度．

【解】∵，∴，......（4分）

于是，或，......（6分）

又......（8分）

当时，，；......（10分）

当时，，．......（12分）

故的长度为或．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．

18．（本题满分12分）

设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．

【解】解法一：

由已知得．......（4分）

根据直角的不同位置，分两种情况：

若为直角，则，即，

得，故；......（9分）

若为直角，则，即，

得，故．......（12分）

解法二：

由椭圆的对称性不妨设，

则由已知可得．......（4分）

根据直角的不同位置，分两种情况：

若为直角，则，于是，故；...（9分）

若为直角，则，

解得，即，

于是，故．......（12分）

（说明：

两种情况，缺少一种扣3分）．

【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑轴时的情况．

19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小．（结果用反三角函数表示）

【解】（I）证明：

如图，以为原点建立空间直角坐标系．

设，则，

．

∴．......（4分）

∵，

∴．......（6分）

（II）记，则，

三棱锥的体积，

当且仅当时，等号成立．

因此，三棱锥的体积取得最大值时，．......（10分）

过作交于，连，可知．

∴是二面角的平面角．

在直角三角形中，直角边，是斜边上的高，

∴，

故二面角的大小为．......（14分）

【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．

20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．

对任意一个非零复数，定义集合．

（Ⅰ）设是方程的一个根．试用列举法表示集合，若在中任取两个数，求其和为零的概率；

（Ⅱ）设复数，求证：

．

【解】（Ⅰ）∵是方程的根，

∴或．......（2分）

当时，∵，

∴．

当时，∵，

∴．

因此，不论取哪一个值，集合是不变的，即．......（8分）

于是，．......（10分）

（Ⅱ）证明：

∵，∴存在，使得．......（12分）

于是对任意，

由于是正奇数，，所以．......（14分）

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：

用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．

（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；

（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；

（Ⅲ）设．现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？

说明理由．

【解】（Ⅰ），表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）

（Ⅱ）函数应该满足的条件和具有的性质是：

，

在上单调递减，且．......（8分）

（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为，

清洗两次后，残留的农药量为，......（12分）

则．

于是，当时，；当时，；当时，．

因此，当时，清洗两次后残留在农药量较少；

当时，两种清洗方法具有相同的效果；

当时，一次清洗残留的农药量较少．......（16分）

【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．

22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据，经数列发生器输出；

②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义．

（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；

（Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足；对任意正整数，均有，求的取值范围．

【解】（Ⅰ）∵的定义域，

∴数列只有三项：

．......（3分）

（Ⅱ）∵，即，∴，或．

即当或2时，．

故当时，；

当时，．......（9分）

（Ⅲ）解不等式，得或．

要使，则或．......（12分）

对于函数，

若，则．......（15分）

当时，，且，

依此类推，可得数列的所有项均满足．

综上所述，．

由，得．......（18分）

【点评】