数学建模习题.docx
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数学建模习题
数学建模与数学实验课程练习
练习集锦
1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。
2简述数学模型及数学建模的特点。
3简述数学建模的常用分类方法。
4求方程
的模最大的根的近似值（精确到小数点后两位）。
5在抢渡长江模型中，如果水流速度
为常数，人的游泳速度
为常数，江面宽度为
，终点位置在起点下游
处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。
6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。
现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。
水厂与江岸的位置见右图。
如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。
（1）对于最优方案，用
表示
。
（2）
求最优取水口位置。
7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是成对比较矩阵
，
（1）确定矩阵P的未知元素。
（2）求P模最大特征值。
（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。
8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是三阶成对比较矩阵
，
（1）将矩阵P元素补全。
（2）求P模最大特征值。
（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。
9考虑下表数据
x
0
2
4
6
8
y
0.80
2.05
5.24
13.42
34.36
（1）用曲改直的思想确定经验公式形式。
（2）用最小二乘法确定经验公式系数。
10考虑微分方程
（1）在像平面上解此微分方程组。
（2）计算
时的周期平均值。
（3）计算
时，
的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化了多少？
（2.8%）
11考虑种群增长模型
（1）解此微分方程。
（2）根据下表数据估计参数k值。
（0.31）
t
0
2
4
6
8
X（t）
234
313
405
503
902
12假设容积为100000
的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是
。
（1）试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？
求出污染物浓度降为控制前的
所需要的时间。
（8.32h）
13假如保险公司请你帮他们设计一个险种:
35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留3位有效数字）？
（0.0066）
14某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。
该校共有
3个学生食堂。
经过近一年的统计观测发现：
A食堂分别有10%，25%的学生经常去B，C食堂就餐，B食堂经常分别有15%，25%的同学去A，C食堂就餐，C食堂分别有20%，20%的同学去A，B食堂就餐。
（1）建立该问题的数学模型。
（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。
15已知一阶差分方程
。
（1）求该差分方程平衡点。
（2）求
表达式。
16某种群至多只能活3岁，且按年观测的
矩阵
（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？
（2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？
（0.71）
17.某人决定用10万元投资A、B、C、D四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。
不需要求出具体数值结果。
18小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。
此时，房产商介绍的一家金融机构提出：
贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。
小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。
（1）商业贷款的利率是多少？
（2）分析金融机构的条件是否优惠。
19.一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输50000
的货物，每天可供运输的货物数量如下：
货物
重量（吨）
体积（
/吨）
每吨收费（元）
1
3000
10
220
2
1500
20
250
3
2500
15
150
4
1000
18
200
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求解）
20.考虑下图所描述的最短路问题。
（1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。
（2）建立该问题最短路的优化模型。
（3）给出该问题的最优结果。
21考虑下图所描述的最短路问题。
（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型。
（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。
（3）给出从位置1到位置9的最短路。
22某零件寿命X（单位：
月）的分布函数为
。
零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。
（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。
（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失（要求算出具体数值结果）。
如果不存在，请说明理由。
23某零件寿命X为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。
零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。
（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。
（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失（要求算出具体数值结果）。
如果不存在，请说明理由。
24已知泛函
，
给出该泛函极值的必要条件。
25.在抢渡长江模型，如果假设流速沿离岸边距离的分布为
试用变分法推出人的游泳速度u（常数）、流速
、起游偏角
及游泳偏角
所满足的欧拉方程。
小学二
（2）班班规
一、安全方面
1、每天课间不能追逐打闹。
2、中午和下午放学要结伴回家。
3、 公路上走路要沿右边走，过马路要注意交通安全。
4、 不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
1、每天到校后，不允许在走廊玩耍打闹，要进教室读书。
2、每节课铃声一响，要快速坐好，安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作，不与同桌说悄悄话，认真思考，积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。
每天按时完成作业，保证字迹工整，卷面整洁。
5、考试时做到认真审题，不交头接耳，不抄袭，独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时，要快速出教室排好队，做到快、静、齐，安静整齐地排队走出课室门，班长负责监督。
2、上午第二节后，快速坐好，按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响，在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7：
35到校做值日。
2、要求各负其责，打扫要迅速彻底，打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员（剑锋，锶妍，炜薪）要按时到岗，除负责自己的值日工作外，还要做好记录。
五、一日常规
1、每天学生到齐后，班长要检查红领巾。
2、劳动委员组织检查卫生。
3、每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、上课前需唱一首歌，由文娱委员负责。
5、 做好两操。
6、 放学后，先做作业，然后帮助家长至少做一件家务事。
7、 如果有人违反班规，要到老师处说明原因。
班训：
坐如钟 站如松 快如风 静无声
班规：
课堂听讲坐如钟，精神集中认真听；
排队升旗站如松，做操到位展雄风；
做事迅速快如风，样样事情记得清；
自习课上静无声，踏实学习不放松；
个人努力进步快，团结向上集体荣；
我为领巾添光彩，标兵集体记我功。
加分标准
序号
考核项目
加分值
备注
1
单元考试满分
+2
2
单元考试85分以上
+1
3
课堂小测满分
+1
4
期中、期末考试满分
+3
5
在红领巾广播站投稿一次
+2
6
在校级活动中获奖
+5
7
作业十次全对得一颗星
+3
8
课堂上得到表扬
+1
9
班干部工作认真负责
+1
10
做好事、有利于班集体和学校的事
+2
11
进步比较明显
+2
12
连续一周该组值日卫生达标
本组值日生每人加2分
扣分标准
序号
考核项目
扣分值
备注
1
没交作业、不做晚作业
-1
2
忘带书本、学具
-1
3
迟到
-1
4
在课堂上被老师点名
-2
5
不穿校服，不戴红领巾
-1
6
吃零食、带钱、带玩具
-2
7
说脏话、打架
-3
请家长，写保证书
8
座位周围有垃圾
-2
9
课间操、眼保健操不认真做
-1
10
升旗时违反纪律
-2
11
来学校不进教室，在走廊聊天打闹
-1
12
体育课打闹说话、排队不整齐
-2
注：
每人基本分60分起，学期末核算总分，作为学期评先依据。
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