人教A版高考数学理一轮汇总训练6简单的三角恒等变换.docx
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人教A版高考数学理一轮汇总训练6简单的三角恒等变换
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11.
2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等.
[归纳·知识整合]
1．半角公式
（1）用cosα表示sin2
，cos2
，tan2
.
sin2
＝
；cos2
＝
；tan2
＝
.
（2）用cosα表示sin
，cos
，tan
.
sin
＝±
；
cos
＝±
；
tan
＝±
.
（3）用sinα，cosα表示tan
.
tan
＝
＝
.
[探究] 如何用tanα表示sin2α与cos2α？
提示：
sin2α＝2sinαcosα＝
＝
；
cos2α＝cos2α－sin2α＝
＝
.
2．形如asinx＋bcosx的化简
asinx＋bcosx＝
sin（x＋φ），其中tanφ＝
.
[自测·牛刀小试]
1．（教材习题改编）化简
的结果是（ ）
A．－cos1 B．cos1
C.
cos1D．－
cos1
解析：
选C
＝
＝
＝
cos1.
2.
的值为（ ）
A.
B．－
C．－1 D．1
解析：
选B
＝
＝
＝
＝－
.
3．若f（x）＝2tanx－
，则f
的值为（ ）
A．－
B．8
C．4
D．－4
解析：
选B ∵f（x）＝2tanx＋
＝2tanx＋
＝
＝
，∴f
＝
＝8.
4．（教材习题改编）函数y＝
cos4x＋sin4x的最小
正周期为________．
解析：
y＝
cos4x＋sin4x＝2
＝2
＝2cos
，
故T＝
＝
.
答案：
5．若cosα＝－
，α是第三象限角，则
＝________.
解析：
∵cosα＝－
，且α是第三象限角，∴sinα＝－
，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝－
.
答案：
－
三角函数式的化简
[例1]
（1）化简：
＝________；
（2）已知0＜x＜
，化简：
lg
＋lg
－lg（1＋sin2x）．
[自主解答]
（1）原式＝
＝2
·cosα.
（2）原式＝lg（sinx＋cosx）＋lg（sinx＋cosx）－lg（1＋sin2x）
＝lg
＝lg
＝lg1＝0.
[答案]
（1）2
cosα
—————
——————————
————
1.三角函数式的化简原则
一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
2.三角函数式化简的要求
1能求出值的应求出值；
2尽量使三角函数种数最少；
3尽量使项数最少；
4尽量使分母不含三角函数；
5尽量使被开方数不含三角函数.
3.三角函数化简的方法
化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.
1．化简：
·
.
解：
原式＝
·
＝
·
＝
＋
·
·
＝
＋
＝
＋
＝
＝
＝
.
三角函数求值
[例2] 已知
<α<π，tanα＋
＝－
.
（1）求tanα的值；
（2）求
的值．
[自主解答]
（1）∵tanα＋
＝－
，
∴3tan2α＋
10tanα＋3＝0，
解得tanα＝－
或tanα＝－3.
∵
<α<π，∴－1∴tanα＝－
.
（2）∵tanα＝－
，
∴
＝
＝
＝
＝
＝－
.
保持本例条件不变，求
的值．
解：
＝
＝
＝－tanα＝
.
—————
——————————————
已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路
1先化简所求式子；
2观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手；
3将已知条件代入所求式子，化简求值.
2．已知sin（2α－β）＝
，sinβ＝－
，且α∈
，β∈
，求sinα的值．
解：
∵
＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
∵－
＜β＜0，∴0＜－β＜
，π＜2α－β＜
，
而sin（2α－β）＝
＞0，
∴2π＜2α－β＜
，cos（2α－β）＝
.
又－
＜β＜0且sinβ＝－
，∴cosβ＝
，
∴cos2α＝cos[（2α－β）＋β]
＝cos（2α－β）cosβ－sin（2α－β）sinβ
＝
×
－
×
＝
.
又co
s2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝
.
又α∈
，∴sinα＝
.
asinx＋bcosx＝
sin（x＋φ）的应用
[例3] （2013·西域模拟）已知函数f（x）＝
sin2x＋sinxcosx，x∈
.
（1）求f（x）的零点；
（2）求f（x）的最大值和最小值．
[自主解答]
（1）令f（x）＝0，得
sinx·（
sinx＋cosx）＝0，
所以sinx＝0或tanx＝－
.
由sinx＝0，x∈
，得x＝π；
由tanx＝－
，x∈
，得x＝
.
综上，函数f（x）的零点为
或π.
（2）f（x）＝
（1－co
s2x）＋
sin2x
＝sin
＋
.
因为x∈
，所以2x－
∈
.
所以当2x－
＝
，即x＝
时，
f（x）的最大值为
；
当2x－
＝
，即x＝
时，
f（x）的最小值为－1＋
.
—————
——————————————
公式asinx＋bcosx＝
sin（x＋φ）的应用及注意事项
（1）利用asinx＋bcosx＝
sin（x＋φ）把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．
（2）该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即
的值为1或
时要熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．
3．（2013·银川模拟）已知函数f
（x）＝sin2x－2
sin2x＋
＋1.
（1）求f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）当x∈
时，求f（x）的值域．
解：
f（x）＝sin2x＋
（1－2s
in2x）＋1＝sin2x＋
cos2x＋1＝2sin
＋1.
（1）函数f（x）的最小正周期T＝
＝π.
由正弦函数的性质知，当2kπ－
≤2x＋
≤2kπ＋
，
即kπ－
≤x≤kπ＋
（k∈Z）时，函数y＝sin
为单调递增函数，故函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）．
（2）∵x∈
，∴2x＋
∈
，
∴sin
∈[0,1]，
∴f（x）＝2sin
＋1∈[1,3]．
∴f（x）的值域为[1,3]．
1个公式——辅助角公式
可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．
y＝asinα＋bcosα＝
sin（α＋φ）其中tanφ＝
有
≥|y|.
2个方向——三角恒等变换的基本方向
三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：
一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
3个步骤——三角恒等变换的步骤
三角恒等变换可以归纳为以下三步：
创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题
1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．
2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．
[典例] （2012·安徽高考）设函数f（x）＝
cos
＋sin2x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g
＝g（x），且当x∈
时，g（x）＝
－f（x）．求g（x）在区间[－π，0]上的解析式．
[解]
（1）f（x）＝
cos
＋sin2x
＝
＋
＝
－
sin2x，
故f（x）的最小正周期为π.
（2）当x∈
时，g（x）＝
－f（x）＝
sin2x，故
①当x∈
时，x＋
∈
.
由于对任意x∈R，g
＝g（x），
从而g（x）＝g
＝
sin
＝
sin（π＋2x）＝－
sin2x.
②当x∈
时，x＋π∈
，
从而g（x）＝g（x＋π）＝
sin[2（x＋π）]＝
sin2x.
综合①②得g（x）在[－π，0]上的解析式为
g（x）＝
1．本题具有以下创新点
（1）命题方式：
本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法．
（2）考查内容的创新：
本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．
2．解决本题的关键有以下几点
（1）准确识别函数g（x）的周期T＝
；
（2）根据周期恰当地将区间[－π，0]分成
和
两部分，并正确求出相应的解析式；
（3）具备较强的逻辑推理能力和运算能力．
1．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝（
sinA，sinB），n＝（cosB，
cosA），若n·m＝1＋cos（A＋B），则C的值为________．
解析：
m·n＝
sinAcosB＋
cosAsinB＝
sin（A＋B）＝
sin（π－C）＝
sinC，又cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cosC，故
sinC＝1－cosC，即
sinC＋cosC＝1，即2sin
＝1，即sin
＝
，由于
＜C＋
＜
，故只有C＋
＝
，即C＝
.
答案：
π
2．（2013·江南十校联考）已知函数f（x）＝sinx＋cosx.
（1）若f（x）＝2f（－x），求
的值；
（2）求函数F（x）＝f（x）·f（－x）＋f2（x）的最大值和单调递增区间．
解：
（1）∵f（x）＝sinx＋cosx，∴f（－x）＝cosx－sinx.
又∵f（x）＝2f（－x），
∴sinx＋cosx＝2（cosx－sinx），且cosx≠0，
∴tanx＝
，
∴
＝
＝
＝
.
（2）由题知F（x）＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，
∴F（x）＝cos2x＋sin2x＋1，
即F（x）＝
sin
＋1.
当sin
＝1时，[F（x）]max＝
＋1.
由－
＋2kπ≤2x＋
≤
＋2kπ（k∈Z）得－
＋kπ≤x≤
＋kπ（k∈Z），故所求函数F（x）的单调递增区间为
（k∈Z）.
一、选择
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